Numeros complejos

   El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

  En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

   Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.

  Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

Definición

Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

• Suma

(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)

• Producto por escalar

r (a,b) = (ra,rb)

• Multiplicación

(a,b) * (c,d) = (ac - bd,ad+ cb)

• Igualdad

(a,b) = (c,d) <=> a = c , b = d

   Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0 .
Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado. 

Unidad imaginaria

Tomando en cuenta que (a,0) * (0,1) = (o,a)se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

1 = (0,1)

De donde se deduce inmediatamente que,

i al cuadrado = i * i = (o,1) * (0.1) = (-1,0) = -1

Representación binómica

Un número complejo se representa en forma binomial como:

z = a + bi

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:
a = Re(z) = R(z)